４．有理数の切断α=(A,A’)
・有理数の性質
有理数は四則演算が閉じている
大小関係がある線形順序集合
可算無限個
稠密
・稠密
p,q∈Qとしてp
・√2は無理数
性質 √2より大きい有理数の集合に最小はない
√2より小さい有理数の集合に最大はない
有理数の切断α=(A,A')
条件１．すべての有理数はAまたはA'に入る
条件２．aがAに、a'がA'に入るならa
・Aに最小、A'に最大がある→稠密よりなし
・Aに最小があるがA'に最大はない→OK
・Aに最小はないがA'に最大はある→OK
・Aに最小、A'に最大はない
これが成り立つのが無理数である。無理数による切断という
たとえば√2のように、それより大きい集合にも
小さい集合にも最大最小はなかった場合に当たる
・有理数を切断することで実数の概念が生まれる
・ところで実数を切断することはできるだろうか